Variational principles in numerical practice

Variational principles represent a general framework for determining the mechanical state of a system, by identifying its motion as a minimum of a pertinent functional. Moreover, finite element methods are naturally based on variational principles and provide a very powerful tool for numerically solving many mechanical as well as other multi-physics problems. The purpose of the present note is to illustrate some recent applications with special reference to biomechanics and dissipation in quasi-brittle materials and piezo-electromechanical structures, in order to confirm the validation and to highlight the bright prospects of this method

Identification of two-dimensional pantographic structure via a linear D4 orthotropic second gradient elastic model

A linear elastic second gradient orthotropic two-dimensional solid that is invariant under (Formula presented.) rotation and for mirror transformation is considered. Such anisotropy is the most general for pantographic structures that are composed of two identical orthogonal families of fibers. It is well known in the literature that the corresponding strain energy depends on nine constitutive parameters: three parameters related to the first gradient part of the strain energy and six parameters related to the second gradient part of the strain energy. In this paper, analytical solutions for simple problems, which are here referred to the heavy sheet, to the nonconventional bending, and to the trapezoidal cases, are developed and presented. On the basis of such analytical solutions, gedanken experiments were developed in such a way that the whole set of the nine constitutive parameters is completely characterized in terms of the materials that the fibers are made of (i.e., of the Young’s modulus of the fiber materials), of their cross sections (i.e., of the area and of the moment of inertia of the fiber cross sections), and of the distance between the nearest pivots. On the basis of these considerations, a remarkable form of the strain energy is derived in terms of the displacement fields that closely resembles the strain energy of simple Euler beams. Numerical simulations confirm the validity of the presented results. Classic bone-shaped deformations are derived in standard bias numerical tests and the presence of a floppy mode is also made numerically evident in the present continuum model. Finally, we also show that the largeness of the boundary layer depends on the moment of inertia of the fibers

Variational methods in continuum damage and fracture mechanics

Damage is defined as the loss of material stiffness under loading conditions. This process is intrinsically irreversible and, therefore, dissipative. When the stiffness vanishes, fracture is achieved. In order to derive governing equations, variationalmethods have been employed. Standard variational methods for non-dissipative sys-tems are here formulated in order to contemplate dissipative systems as the onesconsidered in continuum damage mechanics

Gedanken experiments for the determination of two-dimensional linear second gradient elasticity coefficients

In the present paper, a two-dimensional solid consisting of a linear elastic isotropic material, for which the deformation energy depends on the second gradient of the displacement, is considered. The strain energy is demonstrated to depend on 6 constitutive parameters: the 2 Lam´e constants (λ and μ) and 4 more parameters (instead of 5 as it is in the 3D-case). Analytical solutions for classical problems such as heavy sheet, bending and flexure are provided. The idea is very simple: The solutions of the corresponding problem of first gradient classical case are imposed, and the corresponding forces, double forces and wedge forces are found. On the basis of such solutions, a method is outlined, which is able to identify the six constitutive parameters. Ideal (or Gedanken) experiments are designed in order to write equations having as unknowns the six constants and as known terms the values of suitable experimental measurements

Numerical steady-state and transient responses of a SDOF system constrained by two optimally designed bumpers

Seismically isolated structures can be subjected to large horizontal displacements relative to the ground, especially in Near-Fault earthquakes, which are characterized by one or more intense pulses of velocity and displacement of long period. One strategy to mitigate the problem of large displacements, which occurs in linearly isolated structures, is the use of deformable and dissipative devices (bumpers). The impact between the structure and the bumpers, if the bumpers are appropriately designed, can produce beneficial effects on the dynamic response of the system, both on displacements and accelerations. In this paper the response obtained from a numerical model of isolated single-degree-of-freedom (SDOF) systems constrained by two bumpers, arranged symmetrically on both sides of the mass of the system with an initial gap, subjected to base harmonic excitation, is studied. This model is called Vibro-Impact Isolation System (V-IIS). The objective of this work is to define a methodology for choosing the design parameter defining the V-IIS (mechanical characteristics of the bumpers, gap and isolation frequency of the system) by observing both steady-state and transient responses of both the system and the bumpers. The study of the transient response is compared with that obtained in the steady-state to assess how representative the latter is of the V-IIS transient response. From the definition of the methodology for choosing the parameters of the V-IIS, through optimal design, the only design parameters are the gap and the isolation frequency of the system. Therefore, an appropriate choice of the gap makes it possible to bring frequency-selective viscous damping in V-IISs, introducing two advantages over linear systems: the reduction of the peak intensity of the responses in the resonance range (both displacement and acceleration) and the reduction of the static displacement of the system, but keeping the dynamic response with which the system is designed unchanged

The influence of different geometries of matrix/scaffold on the response of a bone and resorbable material mixture with voids

A 2-D dimensional sample made of natural bone tissue and artificial bioresorbable material is numerically investigated in order to study the influence of different geometries of the assemblage of matrix and scaffold. With the specific tools of the Mixture theory we consider the solid matrix with evolving apparent mass densities (rb for bone and rm for material) to describe bone tissue synthesis and resorption when a bio-resorbable material of the kind used in bone reconstruction is present (see e.g. [1, 2, 3]). To take porosity effects in account the adopted model is derived from the Nunziato-Cowin theory developed for porous solids in which the matrix material is linearly elastic and the interstices are void of material. In detail, to describe the mechanical phenomena which influence the porosity variation we introduce, following the aforementioned theory [4], an independent kinematic degree of freedom, namely the change in volume fraction from the reference volume fraction, namely x = (rb+rm)/rMax-(rb R+rmR)/rMax, with rMax the maximal density without pores. It is well established that exercise results in increased bone mass, while unloading due to immobilization, bedrest, and weightlessness results in bone atrophy. The strains induced by external loads are sensed by mechanoreceptors, primarily on osteocytes which essentially transduce the mechanical signals into biological signals. These biological signals are able to trigger bone remodeling by directing osteoblast activity and osteoclastic resorption. [1] T. Lekszycki and F. dell’Isola. A mixture model with evolving mass densities for describing synthesis and resorption phenomena in bones reconstructed with bio-resorbable materials. J. Applied Math and Mech. (ZAMM), 92:426–444, 2012. [2] A. Madeo, T. Lekszycki, and F. dell’Isola. A continuum model for the bio-mechanical interactions between living tissue and bio-resorbable graft after bone reconstructive surgery. Comptes Rendus Mécanique, 339:625–640, 2011. [3] A. Madeo, D. George, T. Lekszycki, M. Nierenberger, and Y. Rémond. A second gradient continuum model accounting for some effects of micro-structure on reconstructed bone remodeling. Comptes Rendus M´ecanique, 340:575–589, 2012. [4] S. C. Cowin and J. W. Nunziato. Linear elastic materials with voids. J. Elasticity, 13:125–147, 1983

Experimental damage evaluation of open and fatigue cracks of multi-cracked beams by using wavelet transform of static response via image analysis

In this study, a method for crack detection and quantification in beams based on wavelet analysis is presented. The static deflection is measured at particular points along the length of (i) real damaged structures, using few displacement transducers and a laser sensor, and (ii) simulated structures, using closed-form analysis, for a given location of a concentrated load along the beam. Furthermore, the measurement of the beam displacements in a large number of spatially distributed points is made by processing digital photographs of the beam. The smoothed deflection responses of the cracked beams are then analyzed using the wavelet transform. For this purpose, a Gaus2 wavelet with two vanishing moments is utilized. The wavelet transform spikes are used as indicators to locate and quantify the damage; furthermore, the multi-scale theory of wavelet is employed, in order to eliminate or at least reduce the spurious peaks and enhance the true ones. Simply supported beams with single and double cracks are used to demonstrate the devised methodology. Open and fatigue cracks of different sizes and locations have been used in the examples. In a closed-form analysis, the damage is modeled as a bilinear rotational spring with reduced stiffness in the neighborhood of the crack location. Damage calibration of simply supported steel beams with open and fatigue cracks has been carried out experimentally using this technique. A generalized curve has been proposed to quantify the damage in a simply supported beam. Based on the experimental study, the spatial wavelet transform is proven to be effective to identify the damage zone even when the crack depth is around 3% of the height of the beam

Meccanica dei Solidi 3-D

Prefazione alla prima Edizione Nell’ambito delle discipline scientifiche e tecnologiche, molti corsi universitari utilizzano il concetto di continuo. In particolare, la Meccanica dei Continui fornisce i principi fondamentali e gli strumenti operativi per studiare il moto dei corpi sia solidi sia fluidi mediante un approccio unificato. Restringendo ulteriormente l’interesse ai “solidi” deformabili, la Meccanica dei Solidi svolge una funzione propedeutica nei confronti sia della parte successiva del corso di Scienza delle Costruzioni, e cioè del “cilindro di Saint-Venant”, sia di quei corsi di Costruzioni nei quali è coinvolta la “Resistenza dei Materiali”. Escludendo le teorie “speciali” come quella della trave, della membrana o dei gusci, e limitandosi ai corpi continui di forma tridimensionale priva di struttura, in que-sto testo si è cercato di privilegiare gli aspetti metodologici e formativi, soprattutto in vista del fatto che la sempre più rapida evoluzione dei problemi ingegneristici richiede una capacità d’aggiornamento, auto-apprendimento e riconversione altrettanto flessibile. Tale scelta di fondo ha reso inevitabile una drastica selezione degli argomenti trattati in questa sede. Il presente testo contiene la trattazione da me adottata nello svolgimento delle lezioni di Scienza delle Costruzioni impartite agli allievi del corso di laurea in Ingegneria elettronica dall’anno accademico 1991-’92 all’anno accademico 1994-’95, agli allie-vi del corso di laurea in Ingegneria dei Materiali della Scuola Trasporti e Materiali dell’Esercito dall’anno accademico 1993-’94 all’anno accademico 1997-’98, agli allievi del corso di diploma universitario in Ingegneria elettrica a partire dall’anno accademico 1993-’94, e agli allievi del corso di laurea in Ingegneria aerospaziale a partire dall’anno accademico 1994-’95. La formulazione è presentata nelle notazioni sia indiciale sia vettoriale ed è ristretta allo spazio cartesiano. Si è inoltre cercato di limitare le dimostrazioni analitiche al minimo indispensabile, privilegiando quelle che si appellano al senso fisico del lettore e rinviando alla bibliografia per quanto riguarda quelle strettamente matematiche; gli indispensabili richiami di algebra, analisi e geometria sono stati relegati in nota o in appendice, per maggiore comodità di consultazione da parte del lettore. Per quanto attiene ai contenuti, in estrema sintesi si parte dalla definizione di spostamento e deformazione (Cap. I: Cinematica) e di densità di forza interna di contatto (Cap. II: Dinamica); si legano i due concetti mediante la formulazione integrale del problema dinamico differenziale (Cap. III: Lavoro); si postula che la risposta del mate-riale sia governata dalla relazione costitutiva omogenea elastica lineare isotropa (Cap. IV: Elasticità); ed infine si formula il problema linearizzato dell’elastostatica asserendone l’unicità della soluzione (Cap. V: Elastostatica). La Meccanica dei Solidi è da decenni ormai ampiamente consolidata nella Letteratura italiana ed internazionale, al punto da rendere velleitarie eventuali pretese di originalità; ne fa fede la pur incompleta lista di testi classici costituente la bibliografia che correda queste dispense; pertanto l’unica ambizione possibile è quella di fornire agli studenti un ausilio didattico sforzandosi di formulare e risolvere problemi naturalmente complessi in modo semplice, evitando artificiose ed inutili complicazioni. Ugo Andreaus Roma, febbraio 2000. Prefazione alla seconda Edizione Nella prima edizione il libro di testo è stato diviso in tre agili “volumetti” unificati dal titolo “Scienza delle Costruzioni. Teoria e applicazioni”: Meccanica della Trave, Meccanica dei Solidi 3-D, Il cilindro di Saint-Venant. Questa suddivisione è stata suggerita essenzialmente da necessità di tipo didattico, specie in vista del riordino degli studi (laurea di primo livello e laurea specialistica); la riforma dell’Ordinamento 2000 prevede infatti una spinta modularizzazione dei corsi universitari in relazione ai vari “corsi di studi”. Le esigenze didattiche hanno costretto anche ad una riduzione quantitativa dei programmi e ad una semplificazione qualitativa dei contenuti. La prima di queste operazioni è stata effettuata identificando accuratamente gli aspetti della disciplina rivestiti di maggiore rilevanza formativa, metodologica e applicativa, la seconda è stata eseguita con l’accortezza di non inficiare il rigore e la completezza delle trattazioni selezionate. Ad esempio, in questo volume s’introduce direttamente l’elasticità isotropa lineare e per alcune dimostrazioni (ad esempio, quella del teorema d’unicità della soluzione del pro-blema elastostatico linearizzato) si rinvia alla bibliografia specializzata. In generale, le integrazioni, i complementi e gli approfondimenti sono stati relegati in appendice. Tuttavia, gli interventi editoriali non sono stati solo “distruttivi”: si è anche cercato di illustrare le dimostrazioni con interpretazioni geometriche e sono state inseriti ulteriori applicazioni ed esercizi utili agli studenti, ai fini sia del supera-mento dell’esame sia dei corsi successivi sia della professione futura. Inoltre, si è anche ricorso, limitatamente a specifici argomenti particolarmente “ostici”, all’espediente di un doppio livello di lettura: un percorso “rigoroso” dedicato ad un Lettore esigente, ed un percorso “disinvolto” adatto ad un Lettore “frettoloso”; di volta in volta, sono segnalate nel testo le opportune biforcazioni. Ad esempio, in questo volume, questo trattamento “speciale” è stata riservato alla Cinematica, alla Dinamica e all’Elasticità; è stato dedicato inoltre maggiore spazio agli stati piani di sforzo, aggiungendo in appendice le dimostrazioni relative agli sforzi principali e la rappresentazione grafica dei medesimi (circonferenza di Mohr); è stato anche approfondita l’analisi dei criteri di resistenza, inserendo – sempre in appendice – le dimostrazioni dell’energia elastica deviatorica e dello sforzo tangenziale ottaedrico. Infine, mi fa piacere evidenziare che il presente testo si rivolge anche agli allievi del corso di laurea in Ingegneria clinica e biomedica a partire dall’anno accademico 2001-’02. Ugo Andreaus Roma, febbraio 2004

Meccanica della Trave (I edizione).

Prefazione alla prima Edizione Nell’ambito delle discipline ingegneristiche, i corsi universitari di Costruzioni fanno riferimento all’elemento strutturale “trave” e alle varie tipologie dei suoi assemblaggi. L’oggetto fisico del quale la trave rappresenta il modello matematico è un corpo di forma tridimensionale nel quale una dimensione caratteristica prevale nettamente sulle altre due. Se il problema della trave è affrontato nell’ambito della Meccanica dei Solidi di forma tridimensionale, esso è governato da un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali in tre coordinate, che individuano il posto del punto sostanziale. Pertanto, pur nell’ipotesi di elasticità lineare, esso pone difficoltà formidabili nella deter-minazione delle soluzioni, non appena le condizioni al contorno e le azioni meccaniche esterne si discostino da schemi semplicissimi. Una notevole semplificazione sia concettuale che applicativa si ottiene sfruttando l’esistenza di una dimensione prevalente, il “supporto”, e assimilando la trave ad un “corpo monodimensionale dotato di struttura”, non limitandosi cioè a considerare gli spostamenti dei punti del supporto, ma includendo in maniera indipendente anche le variazioni di assetto delle sezioni trasversali, le “fibre”, associate ai punti stessi. Il presente testo contiene la trattazione da me adottata nello svolgimento delle lezioni di Scienza delle Costruzioni impartite agli allievi del corso di laurea in Ingegneria elettronica dall’anno accademico 1991-’92 all’anno accademico 1994-’95, agli allievi del corso di laurea in Ingegneria dei Materiali della Scuola Trasporti e Materiali dell’Esercito dall’anno accademico 1993-’94 all’anno accademico 1997-’98, agli allievi del corso di diploma universitario in Ingegneria elettrica a partire dall’anno accademico 1993-’94, e agli allievi del corso di laurea in Ingegneria aerospaziale a partire dall’anno accademico 1994-’95. La presentazione teorica è accompagnata da numerose esemplificazioni attinenti le applicazioni strutturali, allo scopo di calare la formulazione nella realtà costrut-tiva e di familiarizzare il Lettore con i metodi dell’analisi strutturale. La trattazione riguarda la trave in ambiente sia bi- che tridimensionale, ad asse sia rettilineo sia curvilineo. Nel Capitolo I (Cinematica) si definisce il trasporto e lo si pone in relazione con la deformazione attraverso le equazioni di congruenza. Il Capitolo II (Dinamica) è dedicato alla dinamica stazionaria a partire dallo stato di quiete: le equazioni localizzate di equilibrio delle forze e di bilancio dei momenti stabiliscono un legame tra azioni meccaniche esterne e azioni interne di contatto. La Cinematica e la Dinamica sono poi legate mediante il Teorema dei Lavori Virtuali (Cap. III: Lavoro), che nella versione delle Azioni Virtuali permette di calcolare componenti di spostamento o rotazione effettivi. Postulando che la risposta del materiale sia governata dalla relazione costitutiva elastica lineare (Cap. IV: Elasticità), si formula il problema linearizzato dell’elastostatica (Cap. V: Spostamenti). Il Teorema delle Azioni Virtuali è infine applicato nel Cap. VI (Coazioni) per scrivere le equazioni di congruenza che permettono di analizzare i sistemi indeterminati di travi mediante il Metodo delle Coazioni. Ugo Andreaus Roma, gennaio 2000